Rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynome sind. Sie können als Quotient zweier Polynome dargestellt werden. Rationale Funktionen haben oft charakteristische Eigenschaften wie Polstellen, Nullstellen und Asymptoten. **

Um eine rationale Funktion zu beweisen, muss man zeigen, dass sie für alle möglichen Werte des Arguments gültig ist. Dies kann durch mathematische Manipulationen und Rechnungen erfolgen, bei denen man die Definition der rationalen Funktion verwendet. Man kann auch zeigen, dass die Funktion bestimmte Eigenschaften erfüllt, wie zum Beispiel die Existenz von Polstellen oder Nullstellen. **

Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynome sind. Sie werden als Quotient zweier Polynome dargestellt. Diese Funktionen können sowohl rationale als auch irrationale Werte annehmen und haben oft charakteristische Eigenschaften wie Polstellen oder Asymptoten. **

Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynome sind. Sie können in der Form f(x) = (p(x))/(q(x)) geschrieben werden, wobei p(x) und q(x) Polynome sind. Diese Funktionen haben in der Regel Definitionslücken und senkrechte Asymptoten. **

Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen der Zähler und der Nenner Polynome sind. Sie haben die Form f(x) = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind. Der Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen, außer den Werten, für die der Nenner Q(x) gleich null ist. **

Gebrochen rationale Funktionen sind differenzierbar, weil sie als Quotient zweier differenzierbarer Funktionen definiert sind. Die Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion kann mit Hilfe der Quotientenregel berechnet werden. Dabei wird der Nenner der Funktion nicht null, da dies zu einer Unstetigkeit oder einem Pol führen würde. **

Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen der Zähler und der Nenner Polynome sind. Sie können Asymptoten haben, die entweder vertikal oder horizontal sein können. Vertikale Asymptoten treten auf, wenn der Nenner Null wird, während horizontale Asymptoten auftreten, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. **

Rationale Funktionen können verschoben werden, indem man den Ausdruck im Nenner um eine Konstante verschiebt. Zum Beispiel wird eine Verschiebung nach rechts um k Einheiten erreicht, indem man den Ausdruck im Nenner durch (x-k) ersetzt. Rationale Funktionen können gestreckt oder gestaucht werden, indem man den Ausdruck im Nenner mit einer Konstanten multipliziert. Eine Streckung um den Faktor a wird erreicht, indem man den Ausdruck im Nenner durch (ax) ersetzt. **